I этап: Начальная арифметика (1-й уровень).
Вычисление (сложение, вычитание, умножение и деление)
в пределах 100 и немного за 100.

Важное отступление.

Все вычисления можно разделить на два основных типа.

1) Вычисление при помощи приспособлений.
- калькулятор; - пальцы рук ("ментальная арифметика");
- счёты; - столбики.

2) Вычисление в уме.
Принцип вычисления в уме один единственный: "Разложение числа/чисел
на слагаемые или множители с последующими поочередными
арифметическими действиями."

А вариантов разложений может быть несколько.
Например:
27 × 27 = 27 × (20 + 7) = 540 + 189 = 729
27 × 27 = 27 × (30 - 3) = 810 - 81 = 729
27 × 27 = 27 · 3 · 9 = 81 · 9 = 729
27² = (20 + 7)² = 20² + 2 · 20 · 7 + 7²= 400 + 280 + 49 = 729

Желательно:
а) научиться вычислять, используя различные варианты разложения
числа.
б) научиться определять наиболее удобный вариант разложения,
для каждого отдельного случая, позволяющий сделать более быстрое
вычисление.

У нас дети учатся вычислять в уме!!!

Никаких приспособлений, никаких пальчиков и столбиков!

Плюсы (+) вычисления в уме:

1) Приобретается знание темы "Число".
Знание данной темы облегчает путь к пониманию многих последующих
тем математики.

2) Развивается у ребенка оперативная память -
способность удерживать в уме множество предварительных результатов,
предшествующих заключительному вычислению.

3) Развивается у ребенка активное внимание -
способность сосредотачивать свои усилия на протяжении длительного
времени для достижения определенного результата.

Минусы (-) при обучении вычислению в уме:

1) Требуется гораздо большее время, чем при обучении столбиком.

2) Невозможно обучать в одной группе (классе) детей с разными
способностями и различным уровнем предварительных знаний.

3) Требует ограниченного количества детей: в одной группе 4-12 детей.
Чем менее способные дети, тем меньше человек должно быть в группе.

Способность к обучению - это скорость усваивания учебного материала.

Все вышеперечисленные минусы, как Вы понимаете, не позволяют
обучать детей вычислению в уме в рамках школьной программы.

Продолжительность 1-ого этапа от 6 до 15 месяцев.

Чем более способные ученики, тем меньше им требуется времени для
изучения тем 1-ого этапа, и наоборот чем менее способные ученики, тем
больше им необходимо времени.
II этап: Математические задачи и арифметика
(2-й уровень: Вычисление в пределах 1000 и немного за 1000).

Важное отступление.
Существует два подхода по обучению математических задач.

1) Поверхностный или "слепой" подход.
Ученики заучивают способы решения однотипных задач по формулам.

2) Основательный или "зрячий" подход".
Ученики учатся создавать "картинку" взаимосвязей известных и неизвестных
величин, на основании которой определять решение для той или иной задачи.

Формулы лежат на поверхности. "Картинка" - видение взаимосвязей
известных и неизвестных величин произрастает из глубины (основания).

Например: Задачи на площадь и периметр.
S = a · b, где a - длина, b - ширина.
Какую картинку ученик может увидеть за словами: длина и ширина?
- Полосу, черту, метры?
- Возможно ли умножить полоску на полоску? Как…….?????
- Почему при умножении метров на метры получаются квадратные метры?
- Если метры умножаются на метры, то почему бы не умножить
килограммы на килограммы?
- Почему квадратный метр существует, а квадратный килограмм нет?

5 м

В действительности при нахождении площади умножаются ни метры
на метры, а количество раз на число квадратов, содержащихся в одном разу.

Площадь - есть величина, обозначающее пространство в пределах
очертания плоской фигуры, измеряемая в условных квадратах.

Квадратный метр - это квадрат со стороной 1 метр.

Мы проанализировали все математические задачи, которые
встречаются в школьных программах за последние 150 лет; отобрали
из них более 6500 задач; распределили их по 20-и темам, сочинили
несколько сотен недостающих задач, которые необходимы для
лучшего понимания той или иной темы; сгруппировали задачи внутри
темы по ступеням сложности и сформировали 15 общих (по всем темам)
ступеней сложности.

- Будет ли допущен слабый новичок тренажорного зала к стокилограмовой
штанге тренером, находящемся в здравом уме?
- Возможно ли ученику понять задачи средних ступеней сложности,
без понимания задач начальных ступеней?
- Что остается делать такому ученику, ради хороших оценок?
Запоминать решение по формулам или списывать, не так ли?

У нас дети учатся решать задачи!!!

Никаких зубрёжек формул. Формулы вытекают из понимания.

Плюсы (+) основательного подхода:

1) Приобретаются мыслительные умения: думать, определять,
сравнивать.

Думать - это формулировать серию целенаправленных вопросов
и искать на них ответы.

2) Формируются мыслительные отправные точки, которые в
дальнейшем будут способствовать решать жизненные проблемы.
Например: Когда не знаешь с чего начать в новом начинании, 4
определи то, что делать точно нельзя и из оставшихся вариантов выбери
тот, который представляется более предпочтительным.

3) Умение решать математические задачи расширяет возможности
для глубокого изучения таких предметов, как: алгебра, физика, химия.

Минусы (-) основательного подхода.

1) Требуется индивидуальное сопровождение каждого ученика.
Ведь скорости прохождения пути от 1-й до 15-й ступени сложности
у учеников одной группы сильно разнятся.

2) Требуется учитель, обладающий особыми проффесиональными
навыками.
Под особыми навыками подразумевается умение задавать целенаправленные
вопросы, которые направляют ученика к пониманию определенных вещей.

Не объяснять, а задавать вопросы!

Объяснение - это подсказка решения.

3) Данный подход не годится для "слабых" подростков (10-15 лет)
Под "слабым" поростком подразумевается тот, кто не одарен от
природы и которого при этом приучили запоминать учебный материал,
не вникая в его суть.

Продолжительность 2-ого этапа от 9 до 15 месяцев.

III этап: "Базовая" алгебра и математические задачи

(средних ступеней сложности)

Базовая алгебра включает в себя темы, без знания которых дальнейшее
её изучение невозможно.
Например: Отрицательные числа; раскрытие скобок и вынесение общего
множителя за скобки; линейные уравнения; НОД и НОК;
дроби (обыкновенные, десятичные, проценты) и ряд других тем.

Важное отступление.

Существует два подхода по обучению алгебры.

1) Проходящий подход.
В рамках этого подхода темы проходятся, как поезд проходит станции
согласно расписанию.

2) Изучающий подход.
В рамках этого подхода каждой теме уделяется столько времени, сколько
необходимо для её усвоения со стороны каждого отдельного ученика группы.

Плюсы (+) изучающего подхода:

1) Приобретаются знания базовой алгебры.

2) Формируются и укореняется привычка "понимать", вытесняющая
привычку "запоминать".

Понимать - это видеть умом.

Минусы (-) изучающего подхода.

1) Требуется серьезная организация учебного процесса.
Необходимо тщательно и основательно планировать учебную четверть,
неделю, каждый урок для каждой группы, учитывая способности
отдельно взятого ученика.
Своевременно корректировать учебный план в зависимости от
успехов или не успехов каждого ученика.

Это очень сложно и трудоёмко!!!

2) Требуется учитель, обладающий сильными организаторскими
способностями и умением доходчиво преподносить учебный
материал, не объясняя его.

Объяснение - это подсказка решения.

3) Невозможность доукомплектовывать группы по причине наличия
свободных мест.
Нельзя включать в действующую группу ребенка, необладающего
необходимыми знаниями и умениями и ребенка, чьи способности к
обучению существенно ниже спобностей ребят данной группы.

Продолжительность 3-ого этапа от 15 до 30 месяцев.

IV этап: Алгебра, арифметика, математические задачи.

Алгебра, в рамках 4-ого этапа обучения включает в себя следущие темы:
степень и корни; формулы сокращенного умножения; квадратные и
биквадратные уровнения; неравенства; фунции и многое другое.

Арифметика, в рамках 4-ого этапа обучения состоит из вычисления в уме
многозначных чисел, используя в том числе и знания формул сокращенного
умножения.

Например: В обычных школах заучивается наизусть таблица квадратных
корней. У нас дети учатся вычислять значения квадратных корней 4-5 значных чисел в уме.
Математические задачи, в рамках 4-ого этапа обучения, это верхние
ступени сложности.

Продолжительность 4-ого этапа 2-3 года.

Две стороны одной медали.

У учебного процесса, как и у медали есть две стороны.
С одной стороны учредитель учебного процесса (государство или частный
предприниматель), с другой стороны - отдельно взятый ученик.
- Что чаще происходит: совпадение или несовпадение интересов
у противоположных сторон?

Возможности у государства велики.
- Но может ли оно позволить себе увеличить затраты на школьное
обучение детей в 5-7 раз?
- Во сколько раз увеличатся затраты на учебный процесс при уменьшении
количества детей в одном классе с 35 человек до 10?
- Сколько при таком сокращении понадобится дополнительных классов
и как следствие доплнительных школ?
- Сколько понадобится дополнительный учителей, завучей, директоров?

В отряд космонавтов отбирают лучших из лучших. Что правильно!
- Учителей начальных классов отбирают или набирают?
- Какая профессия массовая: учитель или космонавт?
- Сколько нужно вложить средств государству, чтобы привлечь в
педагогические институты лучших выпусников школ?
- Во сколько раз государство должно поднять зарплату школьным
учителям, чтобы осуществлять отбор среди лучших выпускников
педагогических ВУЗов на должность школьного учителя, особенно
учителя начальных классов?
- Во сколько раз увеличатся затраты на учебный процесс при "космическом"
подходе по укомплектованию школы учителями?

- Какой процент из числа абитурентов педагогических ВУЗов обладает
математическим складом ума?
- Математический склад ума формируется в детстве или в стенах ВУЗа?
- Можно ли развить то, что отсутствует, предварительно его
не сформировав?

Основы математики закладываются в начальной школе.
- Должен ли обладать математическим складом ума тот, кто
закладывает основы математики 7-9-илетним детям?
- Будет ли обладатель математического склада ума принуждать своих
учеников зазубривать состав числа, таблицу умножения, формулы
математических задач и многое другое из базовой математики?
- Что возможно: заучить наизусть пятое стихотворение из томика
Есенина, не выучив первые четыре или понять "пятое" в математической
последовательности, предварительно не поняв то, что ей предшествует?
- Что возможно без понимания "предшествующего": зазубрить текущее
или понять его?

Понимать - это видеть умом.

- На что направлено заучивание (зубрежка) математических тем: на
получение хорошей оценки или на формирование математического склада
ума и последующее его совершенствование? Что из этого важнее?

- Как Вы думаете, переполненные классы в школе; вычисление столбиком;
зубрежка формул; перекладывание ответсвенности с учителя на родителей,
при задавании домашних заданий - это вынужденная мера со стороны
государства или предпочтительный выбор с целью повысить качество
обучения и воспитания детей?